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【黄浦江源大讲堂第17讲】曲安京:数学与人生

发布时间:2015-12-11 点击次数:629


人物名片:曲安京,博士,西北大学数学学院院长,教授,博士生导师。中国数学史学会理事长,国际科学史研究院通讯院士,入选“长江学者”,国际数学史学会执委会委员,国际HPM学会(数学史与数学教育学会)指导委员会委员(中国代表),英国数学史学会荣誉会员,《自然科学史研究》、《中国科技史杂志》、《自然辩证法通讯》、《中国数学会通讯》、《数学与人文》等刊物编委;获第五届中国科协期刊特别优秀学术论文奖,(中国)第二届大象优秀科技史论文一等奖, 首届(台湾)立青中国科学史青年学者杰出论文奖,原国家教委科技进步三等奖(第一)

主持国家自然科学基金与数学天元基金等8项,全国教育科学“十五”规划重点课题一项,中国科学院知识创新工程重大项目二级子课题一项,日本学术振兴会基金一项。在国内外著名学术刊物上发表论文100多篇,出版专著7部。

 

数学与人生

今天我想给大家讲些故事,数学的概念联系我们日常生活,希望数学能变得有趣些。

从模式看文学作品

美国数学会曾在1990年给数学这个学科下了这么一个定义,数学已被称为是模式的科学(science of patterns),其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构对称性。这就表明现代数学一个很重要的特征是模式,数学要建立各种各样的模式,并对这个模式进行分类研究。所以我今天要讲的第一个话题就是模式。

模式是个什么东西?列夫·托尔斯泰说过,幸福的家庭都是相似的,而不幸的家庭各有各的不幸。我想从数学角度来讨论一下,我们学集合的时候知道,幸福的家庭应该是所有的幸福因子都在里头,所以幸福的家庭都是合集化,幸福的家庭只有一个;但是不幸的家庭就变成子集了,子集当然要比合集多。所以写小说更多的不是在写幸福,而是在写不幸,因为悲剧是各有不同的,而喜剧写来写去其实是类似的,这是模式。

模式和鸽笼原理有很大关系。鸽笼原理是我们都熟悉的一个基本原理,说把N只以上的鸽子放到N个笼子里头,那么一定有一个笼子里至少有两只鸽子。这个原理在文学上是什么意思呢?其实古今中外伟大的文学作品都是在建立各种模式,所以这个笼子就是模式,鸽子就是作品。在笼子建好以后,文学家需要做的就是往不同的笼子中放入不同的鸽子,通常是鸽子数大于笼子数。读书也是这样,如果你文学作品读的非常多,在不同的状态你可能会突然冒出书中的话,为什么会这样?因为你打开笼子的时候,你需要有只鸽子飞进来,那只鸽子就是那本书,所以你会产生共鸣。

我不是搞文学评论的,但是我喜欢从我的专业背景出发瞎想,其实搞文学评论的可以去学点数学,就可以从模式的角度上看文学作品。我们举例来看,中国有东郭先生与狼的故事,伊索寓言有农夫与蛇的故事,这两个故事表达了一种相似的情感。所以我们说每个故事背后都是有一个模式的,中国的鸽子和西方的鸽子会进同一个笼子。当然也会有不同的鸽子飞进不同的笼子,那就是我们所说的差异了。

     现在很流行数学建模,建模是非常重要的一种数学思想,所以我第一个讲的就是“模式”,在我们的人生中,在日常的生活里,大家需要注意观察模式,去建模,这有很深的现实意义。   

方差与均值

    钱学森之问”大家都知道,钱学森先生问“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才?”我觉得可以用方差和均值来回答这个问题。

我先解释一下,什么叫“方差”,方差各个数据与平均数之差的平方的和的平均数。实际上在概率论和数据统计中,方差都是用来度量随机变量和所取均值间偏移程度的。在许多实际问题上,方差非常重要。我再举个例子,你们将来毕业了,可能A同学的月薪是1万,B同学的月薪也是1万,那两人的平均月薪就是1万,这没啥问题吧;但是也可能A同学没有找到工作而B同学的月薪是两万,那这两人平均值还是1万,问题就来了,A同学是被平均到1万。所以说在有些时候平均值不一定能够反映出真正的一个情况,这问题出在哪儿呢?就是方差。 现在我们要判断一个学校的水平高不高,我们不是判断这个学校哪个孩子特别突出,而是看这个学校孩子整体平均值,甚至我们整个的教育是不鼓励方差的存在的,这是教育中一个非常重要的问题,不鼓励方差存在的教育模式,也部分解释了钱学森之问。所以在培养学生的时候,我们在注意提升整体学生素质的均值的时候,其实也应该关注,我们是不是应该让方差存在,既保护了学生,也有了创新性和多样性。

当然,从另外一个角度来讲,比如社会稳定的角度来讲,又要强调对方差的控制。社会稳定不能让这个收入差距过大,不能让道德水准差异太大,我们要订一个标准,要让大家都往这个标准上靠拢,这就是利用均值来控制。比如说社会主义核心价值观,大家都以这24个字为标准,努力达到均衡,在道德这个层次上的,我们是利用均值进行引导,不强调方差这个概念了。

我们也看到这样一个趋势,越是在发展初期,或者说不发达的阶段方差就会很大,通过增加方差,我们刺激创新。伴随着发展,事情会变得越来越稳定,方差也会慢慢地减小,这是社会的一个发展趋势。就个人而言,大家可以想象这样两个世界:一个有你,一个没有你。这两个世界的差别越大,证明你的价值越大。世界因你而不同,越不同,生命越有价值。

公理化体系与布朗运动

顾炎武在《日知录》里谈到亡国和亡天下的差别,“易姓改号谓之亡国,仁义充塞而至於率兽食人,人将相食,谓之亡天下。”易姓改号是亡国,道德沦丧,才叫亡天下。“保国者,其君其臣肉食者谋之;保天下者,匹夫之贱,与有责焉耳。”要保国,是领导人的事情,但是保天下,维护道德水准,这是我们老百姓的事情,这也就是我们熟知的“天下兴亡,匹夫有责”。

 这句话从数学上看是有道理的,这让我联想到布朗运动。布朗运动是悬浮微粒永不停息地做无规则运动,布朗运动的特点是什么呢?它是无规则的,是永不停息的,颗粒越小布朗运动越明显,温度越高布朗运动越明显。其实我们每个人,如果放在一个无政府状态下,都像一个悬浮微粒,我们肯定要撞击某些东西,比如说遇到一些挫折, 或者说在既定道路上进行一些变动。但其实我们每个人都在组织的控制之下,每个人都不能脱离政府、脱离管理,每个人都在一个组织中,每个人按照一定的规则来行动。

那公理化体系是什么东西呢?公理化体系是一个公理集合,然后由此演绎这个集合的一些性质和定理。要是稍微学一点数学的人会发现,我们是在一个集合上,我们现在去定义几个公理,然后由这几个公理,就会演绎一套体系,演绎这个集合的性质、定理。比如美国的独立宪章其实就是公理化思想,美国在建立国家之时,确定了国家必须遵从几条规则,也就是形成了公理,这几条公理确定以后一直在美国延续了这么多年,在宪法公理确定后,美国每制定一条规则,都要看制定的规则和那几条公理是不是吻合的,所以美国宪法就是在有了公理以后演绎出的法律体系。所以每个人在国家或在组织中,我们都必须服从公理的,不能像布朗运动中那个悬浮微粒,随便乱撞,你一定要服从规则,当然规则是可以修改的。

理想与人生

在人生的所有阶段,人都有理想,库默尔研究了费马大定理。

我所说的理想其实是,看我们试图去选择一个平庸的生活,还是选择一个精彩的生活。从数学上来讲理想就是一个同余等价类的集合,当然这个话是比较抽象的,我简单说明一下,从负无穷大到0再到正无穷大的整数构成整数的集合,从这个集合中把n的倍数全部取出来就成了一个子集N,这N就是这个整数集合的一个理想,如果这个N的值越大,那这个集合里面的数量是不是越少。如果我们把所有的人构成一个集合的话,当你的N值越小,你的同类人就越多,当你的N值越大,你的同类人数就越少,所以你的理想层次越高,你的同类人越少,那是不是就拒绝了平庸,让自己变的得不同,也就活出了精彩的人生呢?

再打一个比方,这也是我的老师曾经说的,你是希望做大庙里的小和尚还是小庙里的大和尚?大庙就相当于是一个热门行当,小庙是冷僻的行当。小和尚就是小喽啰,大和尚就是庙里的主持。人生是可以选择的,当我们在选择的时候,大部分同学都会选择大庙里的小和尚,但现实情况是绝大多数成功的人都是小庙里的大和尚。大庙里的小和尚通常可能会把自己变成这个行当中的一个看客,选择当小庙里的大和尚那必然是适合自己,能把自己的能力发挥到合适的程度的。

还有一个我觉得能给大家去讲的事情,就是人生的旅途。人生旅途中有很多的岔路,你不得不做出选择,这些选择会让你错过一些事情,或者走错路。我认为年轻是我们拥有的资本,可以走错了的时候及时调整过来,只要出发就不算太晚。还有对于你错过了的,也不必感到惋惜。作家余华说,也许会在宽广的道路上越走越狭窄,但也可能会在狭窄的道路上越走越宽广,这和人生是一模一样的。在座的各位同学,你一定要了解自己的专业,不要放弃你的专业。你的本科专业其实已经确定了你一生的名片,所以不要轻易放弃。你不要害怕你这个方向是窄的,关键是你能不能走下去,看到一片广阔的天地,所以不要放弃起始的那条大路,而被热门的所迷惑。我想说,选择并不是最重要,最重要是你要去适应。

古龙曾说过,茶只要是热的就不会太难喝,女人只要是年轻的就不会太难看。这句话我把它稍微解说一下,一个人只要他有理想了,他这一生就不会太失败。所以我希望你们将来不会变成一个失败的人,谢谢!

 

》 》 》精彩互动

    问:我身边很多同学包括我自己都有考研的打算,我想请问,我们在本科这四年中需要去做些什么?

答:我觉得在四年的时间中,基础学习是很重要的。大学和中学一大区别就是没有人告诉你,你要做什么,所以我建议大家一定要把基础打好,有了基础以后,以后的学习就会好很多。还有就是要有理想,有理想就是说不轻言放弃,有远大目标。我们都是从年轻过来的,大学里很多课程的设置,我们可能不知道为什么要学它,也没有人给你解释,但你要相信一件事情,既然设置这个课程,就有一定的道理。是在你搞不清为什么学这门课的时候,给自己设一个相对低的要求,不要在某一门课背上包袱。

 

    问:我在一本书上看到说,学习数学,在你陷入后,就可能会钻牛角尖。对应您今天讲的主题,数学与人生,我想请问,你是如何看待在数学和人生中犯错的?

答:其实人生犯错是必然的,如果你想做一件事情,想做一些与众不同的事情,那犯点错其实不重要,包括我们选择方向可能会犯错,但每个方向如果你钻进去,你会发现其实都有值得去做的,所以我觉得人生没有太多绝对的对错。人生其实就是这样子,在作出选择后,你要坚持往下走,总是有方法和机会。所以不要害怕犯错,而更害怕你在受挫后不想往前走。一般来讲,人生不会严格按照自己预想的路走下去,没有多少人生是那么幸运的。

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